Lambek's theorem

Posted on August 23, 2015
Tags: Category, 圏論

定理 Lambek’s theorem

\(F\) が initial algebra \[\alpha : F(X) \rightarrow X\]を持つとき, \(\alpha\)\(X\)\(F(X)\) の isomorphism に なる

証明

\(F(\alpha): F(F(X)) \rightarrow F(X)\)\(F(X)\) を carrier とすると algebra になる. \(\alpha\) が initial であることより、以下の図を可換にする \(i : X \rightarrow F(X)\) が唯一存在する. (\(\alpha\) から \(F(\alpha)\) へ algebra を移す射)

\[ \require{AMScd} \begin{CD} F(X) @>{F(i)}>> F(F(X))\\ @V{\alpha}VV @VV{F(\alpha)}V\\ X @>{i}>> F(X) \end{CD} \]

この\(i\)\(\alpha^{-1}\)であることを示す.

まず \(\alpha \circ i : X \rightarrow X\) を考える.

\[ \require{AMScd} \begin{CD} F(X) @>{F(i)}>> F(F(X)) @>{F(\alpha)}>> F(X)\\ @VV{\alpha}V @VV{F(\alpha)}V @VVV \\ X @>{i}>> F(X) @>{\alpha}>> X \end{CD} \]

これは algebra \((\alpha,X)\) から \((\alpha,X)\) への morphism になる. そのため \((\alpha,X)\) が始代数であることから, \(\alpha \circ i = id_X\)となる.

次に \(i \circ \alpha\) について考えるため,最初の可換図式にもどる. \[ \require{AMScd} \begin{CD} F(X) @>{F(i)}>> F(F(X))\\ @V{\alpha}VV @VV{F(\alpha)}V\\ X @>{i}>> F(X) \end{CD} \] 上の図が可換なため、 \(i \circ \alpha = F(\alpha) \circ F(i)\) である. そのため, \[ \begin{eqnarray} i \circ \alpha & = & F(\alpha) \circ F(i) \\ & = & F(\alpha \circ i) \\ & = & F(id_X) \\ & = & id_{F(X)} \end{eqnarray} \]

以上より, \(i \circ \alpha = id\), \(\alpha \circ i = id\) なので \(i = \alpha^{-1}\) が導けた.

自分なりの解釈


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