圏論のノート1

定義: 圏

圏$C$ は以下の要素からなる

  1. object(対象) の集まり
  2. arrow(射) の集まり(morphismとも呼ばれる)
  3. arrow $f$ にdomainとcodomainを割り当てる操作.
    • $dom\ f = A$かつ$cod\ f = B$のとき、$f : A \rightarrow B$と書く。
    • $dom\ f = A$かつ$cod\ f = B$なるarrow $f$ の集まりを $C(A,B)$と書く。
  4. 合成$(\circ)$
    • $dom\ f = cod\ g$なるf,gについて、合成射(composite arrow) $f \circ g$を作る.
    • 以下の関係則(associative raw)を満たさなければならない
      • $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$
  5. すべてのobject Aについて$id_A : A \rightarrow A$は以下を満たす
    • $id_B \circ f = f \circ id_B = f \ (where\ f : A \rightarrow B)$

例: 集合

集合をObject,集合間の全域関数をarrowとみなせば圏になる.
ただし、 $f : x \mapsto x^2$ のような関数を考えると、fは
$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ とも $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ とも解釈できてしまう

これを避けるために 射$f : \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{B}$ を$(f,\mathbb{B})$と書くこともある。

例: Poset

定義: Diagram

圏CのDiagramは、CのObjectとArrowで正しくラベル付けされた辺と頂点の集まりの事を言う。
ここでいう"正しく"とは、$f : A \rightarrow B$をラベルとして持つ辺があった時、その始点はAであり終点はBである事を言う。

定義: 可換

圏CのDiagragramが可換(commute)とは、任意の頂点のペア$X,Y$について,$X$から$Y$への経路すべてが等しい事を言う。つまり$X$から$Y$への各経路がarrowを定め、それら圏Cにおいて等しいことをいう。

参考文献