圏論のノート1

Posted on October 19, 2014
Tags: Category

定義: 圏

\(C\) は以下の要素からなる

  1. object(対象) の集まり
  2. arrow(射) の集まり(morphismとも呼ばれる)
  3. arrow \(f\) にdomainとcodomainを割り当てる操作.
    • \(dom\ f = A\)かつ\(cod\ f = B\)のとき、\(f : A \rightarrow B\)と書く。
    • \(dom\ f = A\)かつ\(cod\ f = B\)なるarrow \(f\) の集まりを \(C(A,B)\)と書く。
  4. 合成\((\circ)\)
    • \(dom\ f = cod\ g\)なるf,gについて、合成射(composite arrow) \(f \circ g\)を作る.
    • 以下の関係則(associative raw)を満たさなければならない
      • \((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\)
  5. すべてのobject Aについて\(id_A : A \rightarrow A\)は以下を満たす
    • \(id_B \circ f = f \circ id_B = f \ (where\ f : A \rightarrow B)\)

例: 集合

集合をObject,集合間の全域関数をarrowとみなせば圏になる.
ただし、 \(f : x \mapsto x^2\) のような関数を考えると、fは
\(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) とも \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2\) とも解釈できてしまう

これを避けるために 射\(f : \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{B}\)\((f,\mathbb{B})\)と書くこともある。

例: Poset

定義: Diagram

圏CのDiagramは、CのObjectとArrowで正しくラベル付けされた辺と頂点の集まりの事を言う。
ここでいう“正しく”とは、\(f : A \rightarrow B\)をラベルとして持つ辺があった時、その始点はAであり終点はBである事を言う。

定義: 可換

圏CのDiagragramが可換(commute)とは、任意の頂点のペア\(X,Y\)について,\(X\)から\(Y\)への経路すべてが等しい事を言う。つまり\(X\)から\(Y\)への各経路がarrowを定め、それら圏Cにおいて等しいことをいう。

参考文献


comments powered by Disqus